正确答案：
先求出函数z的各个偏导:
由原方程可得,原方程两边对x求导得
2x+2z·zx′-z-(x+y)zx′-2+2zx′=0①
原方程两边对y求导得
2y+2z·zy′-z-(x+y)zy′-2+2zy′=0②
①②中,令zx′=0,zy′=0,解得x=(z+2)/2,y=(z+2)/2,将其代入已知方程得Z=±4,故驻点为(3,3)和(-1,-1)。
①式两边对x,y分别求导得
2+2(zx′)2+2zzxx″-2zx′+(2-x-y)zxx″=0③
2zy′zx′+2zzxy″-zy′-zx′+(2-x-y)zxy″=0④
②式两边对y求导得
2+2(zy′)2+2zzyy″-2zy′+(2-x-y)zyy″=0⑤
当x=y=-1,z=-4时,zx′=zy′=0,将其代入③④⑤,得A=zxx″(-1,-1)=1/2,B=zxy″(-1,-1)=0,C=zyy″(-1,-1)=1/2,B2-AC=-1/4<0,A=1/2>0。
则函数z在(-1,-1)处取得极小值z=-4。
当x=y=3,z=4时,zx′=zy′=0,并将其代入③④⑤,得A=zxx″(3,3)=-1/2,B=zxy″(3,3)=0,C=zyy″(3,3)=-1/2,B2-AC=-1/4<0,A=-1/2<0。
故z在(3,3)点处取到极大值z=4。
解析：
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