正确答案：
S12、S22分别为总体N(μ1,σ2)、N(μ2,σ2)的无偏估计量,即E(S12)=σ2,E(S22)=σ2,所以E(Z)=E(aS12+bS22)=aE(S12)+bE(S22)=(a+b)σ2=σ2,Z是σ2的无偏估计量。
又(n-1)S2/σ2~χ2(n-1),其中D((n-1)S2/σ2)=2(n-1),所以
D(S12)=D[σ2((n1-1)S12/σ2)/(n1-1)]=2σ4·(n1-1)/(n1-1)2=2σ4/(n1-1),D(S22)=2σ4/(n2-1)。
D(Z)=D(aS12+bS22)=a2D(S12)+b2D(S22)=2σ4[a2/(n1-1)+b2/(n2-1)]=2σ4[a2(n2-1)+(1-a)2(n1-1)]/[(n1-1)(n2-1)]
令φ(a)=a2(n2-1)+(1-a)2(n1-1),则φ′(a)=2[a(n2-1)-(1-a)(n1-1)]。
由φ′(a)=0,得到a=(n1-1)/(n1+n2-2),b=1-a=(n2-1)/(n1+n2-2),φ″(a)=2(n1+n2-2)>0。即当a=(n1-1)/(n1+n2-2),b=(n2-1)/(n1+n2-2)时,D(Z)达到最小。
解析：
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